幂函数导数

幂函数求导公式：y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。幂函数导数公式的证明：y=x^a，两边取对数lny=alnx，两边对x求导（1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

幂函数求导公式

幂函数导数公式的证明：

y=x^a。

两边取对数lny=alnx。

两边对x求导(1/y)*y'=a/x。

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

在这个过程之中：

1、lny首先是y的函数，y又是x的函数，所以，lny也是x的函数。

2、lny是一目了然的，是显而易见的，是直截了当的，所以称它为显函数，explicitfunction。

3、设u=lny，u是y的显函数，它也是x的函数，由于是隐含的，称为隐函数，implicit。

4、u对y求导是1/y，这是对y求导，不是对x求导。

5、u是x的隐函数，u对x求导，用链式求导，chainrule。

6、u对x的求导，是先对y求导，然后乘上y对x的求导，也就是：

du/dy=1/y。

du/dx=(du/dy)*(dy/dx)=(1/y)*y'=(1/y)y'。

幂函数导数公式的证明

y=x^a，两边取对数lny=alnx，两边对x求导(1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

一般的，形如y=x^α(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于α取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。