2023四川省成都市第七中学高三一诊模拟考试数学(文)试题
2023四川省成都市第七中学高三一诊模拟考试数学(文)试题(word版)
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设是虚数单位，则复数（ ）
A. B. C. D.
2.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（ ）
B.C. D.
5.执行下边的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入（ ）
A. B. C. D.
6.设实数满足，则的最大值是（ ）
A.-1 B. C.1 D.
7.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知向量，，则在方向上的投影为（ ）
A.2 B.-2 C. D.
9.设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值为（ ）
A. B.2 C. D.3
10.设分别是的内角的对边，已知，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
11.已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为，则其底面边长为（ ）
A.18 B.12 C. D.
12.已知函数（其中）的最小正周期为，函数，若对，都有，则的最小正值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为________.
14.已知圆与轴相切，圆心在轴的正半轴上，并且截直线所得的弦长为2，则圆的标准方程是________.
15.已知均为锐角，且，则的最小值是________.
16.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
17.正项等比数列中，已知，.
求的通项公式；
设为的前项和，，求.
18.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；
“江南梅雨无限愁”.镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量（/亩）与降雨量的发生频数（年）如列联表所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？
（完善列联表，并说明理由）.
（参考公式：，其中）
19.已知椭圆的离心率为，且经过点.
求椭圆的标准方程；
过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值.
20.如图，在多面体中，和交于一点，除以外的其余各棱长均为2.
作平面与平面的交线，并写出作法及理由；
求证：；
若平面平面，求多面体的体积.
21.已知函数，其中为常数.
若曲线在处的切线斜率为-2，求该切线的方程；
求函数在上的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数标方程为（其中为参数，且），在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线的极坐标方程为.
求曲线的极坐标方程；
求直线与曲线的公共点的极坐标.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，且.
若，求的最小值；
若，求证：.
第七中学2019届高三一诊模拟考试
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.12 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：设正项等比数列的公比为，则
由及得，化简得，解得或（舍去）.
所以的通项公式为.
由得，.
所以.
18.解：频率分布直方图中第四组的频率为.
所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为
.
根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为.
进而完善列联表如图.
亩产量降雨量 | 200～400之间 | 200～400之外 | 合计 |
<600 | 2 | 2 | 4 |
5 | 1 | 6 | |
合计 | 7 | 3 | 10 |
.
故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.
而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅.
19.解：因为椭圆的离心率，且，所以.
又.故椭圆的标准方程为.
设直线的方程为（一定存在，且）.
代入，并整理得.
解得，于是.
又，所以的斜率为.
因为，所以直线的方程为.
与方程联立，解得.
故为定值.
20.解：过点作（或）的平行线，即为所求直线.
和交于一点，四点共面.又四边形边长均相等.
四边形为菱形，从而.
又平面，且平面，平面.
平面，且平面平面，.
证明：取的中点，连结，.，，，.
又，平面，平面，故.
又四边形为菱形，.又，平面.
又平面，.
解：平面平面，平面.
故多面体的体积.
21.解：求导得，由解得.
此时，所以该切线的方程为，即为所求.
对，，所以在区间内单调递减.
（1）当时，，在区间上单调递减，故.
（2）当时，，在区间上单调递增，故.
（3）当时，因为，，且在区间上单调递增，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在上单调递增，在上单调递减.故的最小值等于和中较小的一个值.
①当时，，故的最小值为.
②当时，，故的最小值为.
综上所述，函数的最小值.
22.解：消去参数，得曲线的直角坐标方程.
将，代入，得.
所以曲线的极坐标方程为.
将与的极坐标方程联立，消去得.
展开得.
因为，所以.
于是方程的解为，即.
代入可得，所以点的极坐标为.
23.解：由柯西不等式得，（当且仅当时取等号），所以，即的最小值为；
因为，所以
，故结论成立.
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